探索三维空间意味着将我们的数学领域从二维平面 $\mathbb{R}^2$ 扩展到三维空间 $\mathbb{R}^3$，通过建立三条在原点 $O$ 相交且相互垂直的有向直线（即 x 轴、y 轴和 z 轴）来实现。
正如我们利用指数函数 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 的麦克劳林级数，从简单的多项式项构建复杂函数一样，我们也通过将三维空间划分为八个 卦限 通过三个相交的 坐标平面 （xy 平面、yz 平面和 xz 平面）。这一转变使我们能够将任意一点 $P$ 确定为一个 点 P 有序三元组 (a, b, c) 有序三元组 (a, b, c)，表示其相对于这些平面的有向距离——从二维 雪花曲线 的无限复杂性，过渡到物理世界的结构化体积。
三维空间 $\mathbb{R}^3$ 的几何
为了确定空间中的点，我们固定通过原点 $O$ 且彼此垂直的三条有向直线，分别称为 x 轴、 y 轴以及 z 轴。它们的方向遵循 右手定则：如果你用右手从正 x 轴方向向正 y 轴方向弯曲手指，拇指所指的方向就是正 z 轴方向（图 2）。
三条坐标轴确定了三个坐标平面： xy 平面 （$z=0$）， yz 平面 （$x=0$），以及 xz 平面 （$y=0$）。这些平面将空间划分为八个部分，称为 卦限。第一卦限是所有坐标均为正的区域。
对于任意点 $P$，三元组 $(a, b, c)$ 包含 x 坐标 （$a$）， y 坐标 （$b$），以及 z 坐标 （$c$）。这些值分别是点 $P$ 到 yz 平面、xz 平面和 xy 平面的有向距离。
数学映射类比
通过累加分量来定位点 $P(a, b, c)$ 在概念上类似于求级数各项之和。考虑求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ 的和，这需要识别出 $e^x$ 麦克劳林级数的熟悉模式。
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ 与 $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$ 相关。为了解决这个问题，我们对索引进行调整以匹配熟悉的表达形式：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
正如我们通过分析幂级数中的各项来理解其构成一样，我们通过识别坐标轴和坐标平面来确定空间位置。
维度陷阱
注意： 当给出一个方程时，我们必须根据上下文判断它是在 $\mathbb{R}^2$ 中表示一条曲线，还是在 $\mathbb{R}^3$ 中表示一个曲面。
- 方程 $y=5$： 在 $\mathbb{R}^1$ 中，它是一个点；在 $\mathbb{R}^2$ 中，它是一条水平线；在 $\mathbb{R}^3$ 中，它是一个完整的 平面 平行于 xz 坐标平面（图 7）。
- 方程 $y=x$： 在 $\mathbb{R}^3$ 中，由于 $z$ 是“自由变量”，该方程表示一个通过 z 轴的竖直平面，与 xy 平面沿直线 $y=x$ 相交。